Luasan Putaran Berderajat Dua - Elipsoida dengan Titik Pusat O dan Sumbu-Sumbunya Berimpit dengan Sumbu-Sumbu Koordinat

Geometri analitik ruang adalah cabang dari geometri yang menggunakan konsep-konsep matematika, terutama analisis, untuk menjelaskan sifat-sifat geometri dalam ruang tiga dimensi. Geometri ini menggunakan koordinat-koordinat untuk menggambarkan titik, garis, dan bidang dalam ruang. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan persamaan matematika untuk menggambarkan objek geometri dan menentukan sifat-sifatnya, seperti panjang garis atau luasan putaran yang terbentuk. Geometri ini juga memungkinkan kita untuk melakukan operasi geometri, seperti rotasi dan translasi yang merupakan transformasi objek dalam ruang.

Baca juga: Definisi, Cabang-Cabang, dan Prinsip Belajar Matematika

Luasan putaran berderajat dua adalah luas permukaan yang dihasilkan saat sebuah garis putar atau kurva berputar mengelilingi sumbu putarnya. Jika garis putar ini memiliki derajat dua (seperti parabola), maka luas permukaan yang dihasilkan disebut luasan putaran berderajat dua. Contoh garis putar yang sering digunakan dalam geometri analitik ruang adalah parabola, elips, dan hiperbola. Luasan putaran berderajat dua sering digunakan dalam bidang-bidang seperti mekanika, teknik mesin, dan aerodinamika. Berikut ini contoh luasan yang terjadi dari elips yang digerakkan pada suatu kurva.

Elips yang terletak pada bidang $XOY$ digerakkan dengan aturan sebagai berikut.

• Bidang elips selalu sejajar dengan bidang $XOY$.

• Titik pusat elips selalu terletak pada sumbu $z$.

• Dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah yang terletak pada bidang $YOZ$.

• Elips semula selalu sebangun dengan elips yang digerakkan.

Pada bidang $XOY$, terletak elips dengan persamaan

$$\begin{cases}z=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1\end{cases}$$

dan pada bidang $YOZ$, terletak garis arah berupa elips dengan persamaan

$$\begin{cases}x=0\\ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{cases}$$

Kedua elips tersebut mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu $y$.

Misalkan elips $\begin{cases}z=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases}$ digerakkan, sehingga terletak pada bidang $z=\lambda$ dan setengah sumbu-sumbunya adalah $x_0$ dan $y_0$ berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu $x$ dan $y$. Karena memenuhi aturan (a), (b), dan (c), maka titik $(0,y_0,\lambda)$ memenuhi

$$\begin{aligned}\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{\lambda ^2}{c^2}&=1\\y_0^2&=b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\end{aligned}$$

Dari aturan (a), (b), dan (d), maka dipenuhi

$$\begin{aligned}\frac{x_0}{y_0}&=\frac{a}{b}\\x_0^2&=\frac{a^2}{b^2}y_0^2\\&=\frac{a^2}{b^2}b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\\&=a^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\end{aligned}$$

Jadi, persamaan elips yang terletak pada bidang $z=\lambda$ adalah

$$\begin{cases}z=\lambda\\ \frac{x^2}{x_0^2}+\frac{y^2}{y_0^2}=1\end{cases}\\\begin{cases}z=\lambda\\ \frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)}=1\end{cases}$$

Dengan mengeliminasi $\lambda$ dari persamaan elips tersebut, diperoleh persamaan

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$

Persamaan ini merupakan persamaan elipsoida dengan titik pusat di $O$ dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Jika dua di antara $a$, $b$, dan $c$ bernilai sama, maka elipsoida tersebut merupakan elipsoida putaran. Jika $a=b=c$, maka elipsoida tersebut merupakan bola. Ilustrasinya dapat diakses melalui link https://www.geogebra.org/m/scv9x3hy.

Gambar 1 Elipsoida $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$

Gambar 2 Elipsoida Putaran $\frac{x^2}{3}+y^2+\frac{z^2}{3}=1$

Gambar 3 Bola $x^2+y^2+z^2=1$