Luasan Putaran Berderajat Dua - Elipsoida dengan Titik Pusat O dan Sumbu-Sumbunya Berimpit dengan Sumbu-Sumbu Koordinat

Geometri analitik ruang adalah cabang dari geometri yang menggunakan konsep-konsep matematika, terutama analisis, untuk menjelaskan sifat-sifat geometri dalam ruang tiga dimensi. Geometri ini menggunakan koordinat-koordinat untuk menggambarkan titik, garis, dan bidang dalam ruang. Ini memungkinkan kita untuk menggunakan persamaan matematika untuk menggambarkan objek geometri dan menentukan sifat-sifatnya, seperti panjang garis atau luasan putaran yang terbentuk. Geometri ini juga memungkinkan kita untuk melakukan operasi geometri, seperti rotasi dan translasi yang merupakan transformasi objek dalam ruang.

Baca juga: Definisi, Cabang-Cabang, dan Prinsip Belajar Matematika

Luasan putaran berderajat dua adalah luas permukaan yang dihasilkan saat sebuah garis putar atau kurva berputar mengelilingi sumbu putarnya. Jika garis putar ini memiliki derajat dua (seperti parabola), maka luas permukaan yang dihasilkan disebut luasan putaran berderajat dua. Contoh garis putar yang sering digunakan dalam geometri analitik ruang adalah parabola, elips, dan hiperbola. Luasan putaran berderajat dua sering digunakan dalam bidang-bidang seperti mekanika, teknik mesin, dan aerodinamika. Berikut ini contoh luasan yang terjadi dari elips yang digerakkan pada suatu kurva.

Elips yang terletak pada bidang XOYXOY digerakkan dengan aturan sebagai berikut.

  • Bidang elips selalu sejajar dengan bidang XOYXOY.
  • Titik pusat elips selalu terletak pada sumbu zz.
  • Dua dari puncaknya selalu terletak pada garis arah yang terletak pada bidang YOZYOZ.
  • Elips semula selalu sebangun dengan elips yang digerakkan.

Pada bidang XOYXOY, terletak elips dengan persamaan

{z=0x2a2+y2b2=1\begin{cases}z=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} =1\end{cases}

dan pada bidang YOZYOZ, terletak garis arah berupa elips dengan persamaan

{x=0y2b2+z2c2=1\begin{cases}x=0\\ \frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1\end{cases}

Kedua elips tersebut mempunyai puncak-puncak yang sama pada sumbu yy.

Misalkan elips {z=0x2a2+y2b2=1\begin{cases}z=0\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\end{cases} digerakkan, sehingga terletak pada bidang z=λz=\lambda dan setengah sumbu-sumbunya adalah x0x_0 dan y0y_0 berturut-turut sumbu yang sejajar sumbu xx dan yy. Karena memenuhi aturan (a), (b), dan (c), maka titik (0,y0,λ)(0,y_0,\lambda) memenuhi

y02b2+λ2c2=1y02=b2(1λ2c2)\begin{aligned}\frac{y_0^2}{b^2}+\frac{\lambda ^2}{c^2}&=1\\y_0^2&=b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\end{aligned}

Dari aturan (a), (b), dan (d), maka dipenuhi

x0y0=abx02=a2b2y02=a2b2b2(1λ2c2)=a2(1λ2c2)\begin{aligned}\frac{x_0}{y_0}&=\frac{a}{b}\\x_0^2&=\frac{a^2}{b^2}y_0^2\\&=\frac{a^2}{b^2}b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\\&=a^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)\end{aligned}

Jadi, persamaan elips yang terletak pada bidang z=λz=\lambda adalah

{z=λx2x02+y2y02=1{z=λx2a2(1λ2c2)+y2b2(1λ2c2)=1\begin{cases}z=\lambda\\ \frac{x^2}{x_0^2}+\frac{y^2}{y_0^2}=1\end{cases}\\\begin{cases}z=\lambda\\ \frac{x^2}{a^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)}+\frac{y^2}{b^2\left(1-\frac{\lambda ^2}{c^2}\right)}=1\end{cases}

Dengan mengeliminasi λ\lambda dari persamaan elips tersebut, diperoleh persamaan

x2a2+y2b2+z2c2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1

Persamaan ini merupakan persamaan elipsoida dengan titik pusat di OO dan sumbu-sumbunya berimpit dengan sumbu-sumbu koordinat. Jika dua di antara aa, bb, dan cc bernilai sama, maka elipsoida tersebut merupakan elipsoida putaran. Jika a=b=ca=b=c, maka elipsoida tersebut merupakan bola. Ilustrasinya dapat diakses melalui link https://www.geogebra.org/m/scv9x3hy.

elipsoida
Gambar 1 Elipsoida x23+y22+z2=1\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{2}+z^2=1

elipsoida putaran
Gambar 2 Elipsoida Putaran x23+y2+z23=1\frac{x^2}{3}+y^2+\frac{z^2}{3}=1

bola
Gambar 3 Bola x2+y2+z2=1x^2+y^2+z^2=1

Comments

Popular posts from this blog

Definisi dan Rumus Putaran atau Rotasi

4 Situs Terbaik dan Gratis untuk Memecahkan Soal Matematika

Sudut, Garis, dan Keparalelan dalam Bahasa Inggris