Definisi dan Rumus Putaran atau Rotasi

Geometri transformasi adalah pemetaan satu-satu dengan menggunakan titik-titik sebagai masukan atau input dan returning points sebagai luaran atau output. Anggota dari himpunan input tersebut dinamakan objek atau benda dan anggota dari himpunan output atau luaran yang bersesuaian dinamakan image atau bayangan. Salah satu transformasi yang umum dipelajari adalah putaran atau rotasi.

Putaran (rotasi) merupakan suatu transformasi yang memasangkan titik ke titik lainnya dengan cara memutar atau peristiwa memindahkan suatu objek (gambar) melalui garis lengkung dengan pusat pada titik tertentu dan dengan sudut putar tertentu yang searah atau berlawanan arah jarum jam yang menyebabkan kedudukan objek (gambar) berubah.

Baca juga: Definisi dan Rumus Setengah Putaran atau Halfturn

Misalkan $A$ adalah suatu titik pusat putar dan $\theta$ adalah besar sudut putar di antara $-180\degree$ dan $180\degree$ serta $P(x,y)$ adalah titik yang diputar. Suatu rotasi yang mengelilingi $A$ (atau terhadap $A$) dengan besar sudut $\theta$ adalah sebuah pemetaan $R_{A,\theta}$ yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang berlaku:

• Jika $P=A$, maka $R_{A,\theta}(P)=P=A=I$; atau

• Jika $P\neq A$, maka $R_{A,\theta}(P)=P'$ dengan  $\overline{AP'}\cong\overline{AP}$ dan $m\angle PAP'=\theta$ di mana $\theta$ bernilai positif jika arah putarnya berlawanan jarum jam atau $\theta$ bernilai negatif jika arah putarnya searah jarum jam.

Ilustrasinya seperti gambar berikut.

Gambar 1

Rumus Putaran

• Bertitik pusat putar $A(0,0)$

Perhatikan gambar berikut.

Gambar 2

Koordinat kartesius $P=(x,y)$, sehingga koordinat kutub $P=(r\cos{\alpha},r\sin⁡{\alpha})$ dengan $r=\sqrt{x^2+y^2}$ dan $\tan{\alpha}=\frac{y}{x}$.

$\overline{AP}$ membentuk sudut $\alpha$ terhadap sumbu $x$ positif dan $P(x,y)=P(r\cos{\alpha},r\sin⁡{\alpha})$, artinya $x=r\cos{\alpha}$ dan $y=r\sin⁡{\alpha}$. Lalu, $\overline{AP'}$ (di mana $P'=R_{A,\theta}(P)$) membentuk sudut $(\alpha+\theta)$ terhadap sumbu $x$ positif dan $P'(x',y')=P'(r\cos⁡{\alpha+\theta},r\sin{\alpha+\theta})$, artinya $x'=r\cos{(\alpha+\theta)}$ dan $y'=r\sin⁡{(\alpha+\theta)}$. Maka dari itu, diperoleh

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}r\cos⁡{(\alpha+\theta)}\\r\sin⁡{(\alpha+\theta)}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}r(\cos⁡{\alpha}\cos⁡{\theta}-\sin{\alpha}⁡\sin{\theta})\\r(\sin⁡{\alpha}\cos{\theta}+\cos⁡ {\alpha}\sin⁡{\theta})\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}r\cos⁡{\alpha}\cos⁡{\theta}-r\sin⁡{\alpha}\sin⁡{\theta}\\r\sin⁡{\alpha}\cos⁡{\theta}+r\cos⁡{\alpha}\sin⁡{\theta}\end{pmatrix}\\&=\begin{pmatrix}x\cos⁡{\theta}-y\sin⁡{\theta}\\y\cos⁡{\theta}+x\sin⁡{\theta}\end{pmatrix}\end{aligned}$

Jadi, $R_{A,\theta}(P)=(x\cos⁡{\theta}-y\sin⁡{\theta},y\cos⁡{\theta}+x\sin⁡{\theta})$.

• Bertitik pusat putar $A'(a,b)$

Karena titik pusat putarnya berubah menjadi $A'(a,b)$, maka $P(x,y)$ dan $P'(x',y')$ mengalami pergeseran. Agar rumus sebelumnya dapat digunakan, geserannya dikembalikan lagi ke $A(0,0)$, sehingga dapat ditulis

$G_{\overrightarrow{A'A}}(P)=G_{\overrightarrow{A'A}}(x,y)=(x-a,y-b)$

$G_{\overrightarrow{A'A}}(P')=G_{\overrightarrow{A'A}}(x',y')=(x'-a,y'-b)$

Maka dari itu, rumusnya berubah menjadi

$\begin{aligned}\begin{pmatrix}x'-a\\y'-b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}(x-a)\cos⁡{\theta}-(y-b)\sin⁡{\theta}\\(y-b)\cos⁡{\theta}+(x-a)\sin⁡{\theta}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}(x-a)\cos⁡{\theta}-(y-b)\sin⁡{\theta}\\(y-b)\cos⁡{\theta}+(x-a)\sin⁡{\theta}\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}(x-a)\cos⁡{\theta}-(y-b)\sin⁡{\theta}\\(y-b)\cos⁡{\theta}+(x-a)\sin⁡{\theta}\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}&=\begin{pmatrix}(x-a)\cos⁡{\theta}-(y-b)\sin⁡{\theta}+a\\(y-b)\cos⁡{\theta}+(x-a)\sin⁡{\theta}+b\end{pmatrix}\end{aligned}$

Jadi, $R_{A',\theta}(P)=((x-a)\cos{\theta}-(y-b)\sin⁡{\theta}+a,(y-b)\cos⁡{\theta}+(x-a)\sin⁡{\theta}+b)$.

Berdasarkan rumus tersebut, dapat dibuat rumus yang lebih sederhana untuk kasus-kasus yang umum terjadi.

• Rotasi sebesar $90\degree$ dengan $A(0,0)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(-y,x)$

• Rotasi sebesar $180\degree$ dengan $A(0,0)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(-x,-y)$

• Rotasi sebesar $-90\degree$ dengan $A(0,0)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(y,-x)$

• Rotasi sebesar $90\degree$ dengan $A(a,b)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(-y+a+b,x-a+b)$

• Rotasi sebesar $180\degree$ dengan $A(a,b)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(-x+2a,-y+2b)$

• Rotasi sebesar $-90\degree$ dengan $A(a,b)$ adalah $R_{A,\theta}(P)=(y-b+a,-x+a+b)$