Definisi dan Rumus Setengah Putaran atau Halfturn

Geometri transformasi dapat juga disebut sebagai geometri gerak. Geometri transformasi merupakan pemetaan satu-satu dengan menggunakan titik-titik sebagai masukan atau input dan returning points sebagai luaran atau output. Himpunan-himpunan input tersebut dinamakan sebagai objek atau benda dan output atau luaran yang bersesuaian dinamakan sebagai image atau bayangan. Salah satu transformasi yang umum dipelajari adalah setengah putaran atau halfturn.

Baca juga: Definisi dan Rumus Putaran atau Rotasi

Sebuah setengah putaran terhadap suatu titik $A$ adalah suatu padanan $S_A$ yang didefinisikan untuk setiap titik $P$ pada bidang sebagai berikut.

• Apabila $P=A$, maka $S_A(P)=P=I$

• Apabila $P\neq A$, maka $S_A(P)=P'$ dan $A$ titik tengah $\overline{PP'}$

Dari definisi tersebut, telah dijelaskan mengenai setengah putaran dengan lambang $S_A (P)$ di mana $S$ adalah lambang setengah putaran, $A$ adalah titik putarnya, dan $P$ adalah titik yang akan ditransformasi. Agar lebih mudah dipahami, dapat dibuat grafik seperti gambar berikut.

Gambar 1

Dari Gambar 1, titik $R$ disetengahputarkan terhadap titik $A$ menjadi $R'$ di mana $R'=S_A (R)$. Begitu juga dengan titik $Q$, disetengahputarkan terhadap titik $A$ menjadi $Q'$. Namun, untuk titik $P=A$ yang disetengahputarkan terhadap titik $A$, maka hasilnya adalah $P$ itu sendiri di mana $S_A (P)=I$.

Gambar 1 merupakan contoh setengah putaran dari sebuah titik, sedangkan untuk garis langkah-langkahnya sebagai berikut.

Misalkan akan dibuat setengah putaran garis $g$ terhadap titik $A$.

• Langkah 1, ambil dua buah titik pada garis $g$, yaitu titik $P$ dan $Q$.

• Langkah 2, lakukan setengah putaran titik $P$ dan $Q$ terhadap titik $A$, sehingga didapat $S_A (P)=P'$ dan $S_A (Q)=Q'$.

• Langkah 3, hubungkan titik $P'$ dan $Q'$, sehingga didapatkan garis $g'$ yang merupakan hasil setengah putaran garis $g$ terhadap titik $A$ yang bisa ditulis sebagai $S_A (g)=g'$.

Ilustrasinya seperti gambar berikut.

Gambar 2

Rumus Setengah Putaran

Misalkan diberikan dua titik $P(x,y)$ dan $A(a,b)$. Akan dicari rumus $S_A (P)$.

• Kasus 1: Jika $P=A$

$\begin{aligned}P&=A\\(x,y)&=(a,b)\\S_A(P)&=(a,b)\\S_A(P)&=(2a-a,2b-b)\\S_A(P)&=(2a-x,2b-y)\end{aligned}$

• Kasus 2: Jika $P≠A$

Misalkan $P' (x',y' )$ adalah hasil setengah putaran $P(x,y)$ terhadap $A$. Berdasarkan definisi di atas, jika $P≠A$, maka $S_A (P)=P'$ dan $A$ titik tengah $\overline{PP'}$. Karena $A$ titik tengah $\overline{PP'}$, maka

$\begin{aligned}a&=\frac{x+x'}{2}\\2a&=x+x'\\2a-x&=x'\end{aligned}$

dan

$\begin{aligned}b&=\frac{y+y'}{2}\\2b&=y+y'\\2b-y&=y'\end{aligned}$

Maka dari itu, $S_A (P)=P'=(2a-x,2b-y)$.

Jadi, rumus setengah putaran titik $P(x,y)$ terhadap titik $A(a,b)$ adalah $\bold{S_A (P)=(2a-x,2b-y)}$.